🔢 Lineare Algebra mit NumPy

🔢 Lineare Algebra mit NumPy#

🧮 Matrixmultiplikation: np.dot() vs. @#

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

# Variante 1:
print(np.dot(A, B))

# Variante 2:
print(A @ B)

➡️ Beide Varianten führen zur Matrixmultiplikation, aber @ ist moderner und lesbarer (ab Python 3.5)

🔁 Transponieren#

print(A.T)

➡️ Vertauscht Zeilen und Spalten

🧠 Determinante & Inverse#

# Determinante:
det = np.linalg.det(A)
print("Determinante:", det)

# Inverse berechnen:
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("Inverse:\n", A_inv)

⚠️ Nur möglich, wenn die Matrix quadratisch und nicht singulär ist#

📌 Gleichungssystem lösen: np.linalg.solve()#

Gegeben: Ax = b Finde: x

A = np.array([[2, 1],
              [1, 3]])
b = np.array([8, 13])

x = np.linalg.solve(A, b)
print("Lösung x:", x)

➡️ Liefert exakte Lösung (schneller und stabiler als inv(A) @ b)

🧮 Eigenwerte und Eigenvektoren#

A = np.array([[4, 2],
              [1, 3]])

eigwerte, eigvektoren = np.linalg.eig(A)

print("Eigenwerte:", eigwerte)
print("Eigenvektoren:\n", eigvektoren)

➡️ Wichtig z. B. in:

  • PCA (Hauptkomponentenanalyse)

  • Schwingungssystemen

  • Differentialgleichungen

✅ Zusammenfassung#

Funktion

Bedeutung

@, np.dot()

Matrixmultiplikation

.T

Transponieren

np.linalg.det()

Determinante

np.linalg.inv()

Inverse

np.linalg.solve(A, b)

Gleichungssystem lösen (Ax = b)

np.linalg.eig()

Eigenwerte & -vektoren

✍️ Übung: Löse ein lineares Gleichungssystem#

Gegeben ist das System:

3x + 2y = 16  
4x -  y =  9

  • Stelle die Koeffizientenmatrix A und den Vektor b auf

  • Löse das Gleichungssystem mit np.linalg.solve()

  • Überprüfe die Lösung mit Einsetzen

✅ Beispiel-Lösung:#

💡 Lösung anzeigen

A = np.array([[3, 2],
              [4, -1]])

b = np.array([16, 9])

x = np.linalg.solve(A, b)
print("Lösung [x, y]:", x)

# Kontrolle:
print("Kontrolle: A @ x =", A @ x)
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